Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai :


Tóm tắt lý thuyết
A/ Giải và biện luận: Phương trình


: phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.

: Đặt

+
pt(2) vô nghiệm.
+
: pt(2) có nghiệm kép
.
+
: pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
;

Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình.
B/ Hệ thức Vi-et
Hai số
là hai nghiệm của phương trình
khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức:
.
Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

( Điều kiện tồn tại hai số trên là
)
Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức
có hai nghiệm
thì nó có thể phân tích thành nhân tử

Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+

+

+

C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình:
Cho phương trình
. Đặt
trong đó
là 2 nghiệm của phương trình (2)
1/ Pt(2) vô nghiệm
2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm

3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
4/Pt(2) có VSN

5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu

6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương

7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm

8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương

9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm

10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương

11/Pt(2) có nghiệm kép

12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm


Các dạng bài tập áp dụng:

I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2:
Phương pháp:
Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình).
Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai.
Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải
Điều kiện:



Nghiệm phương trình

Bài tập: Giải các phương trình
1/

2/

II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình:
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình

Giải
*

*

+
: Phương trình vô nghiệm.
+
: Phương trình có nghiệm kép
.
+
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt


Kết luận:
+ m < 1: Phương trình vô nghiệm
+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2
+ m = 2: phương trình có nghiệm

+
phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài tập áp dụng:
1/

2/

3/

4/


III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm:
Phương pháp: tính
nếu
thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì


Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện

Giải
a) Ta có


b) Theo vi ét ta có






Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m để
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 2:Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn

Bài tập 3: Tìm giá trị của m để các nghiệm của phương trình
a) Thoả mãn
b